r95631022林冠宏(計算齒輪平均半徑,有效圈數,彈簧體積)

螺旋彈簧
緊密捲繞(closely coiled)的螺旋彈簧(helical springs)應力與變形方程式，直接導自如圖4-2(2)中所示圓桿扭轉的對應力方程式。圓桿長L，直徑為d，在兩端裝配長R的托架，並且在負荷P的作用下平衡。假設直桿彎曲成如圖4-2(b)中半徑為R的N圈螺旋線(helix)。繞成圈的桿在兩相等兒相反方向力的作用下平衡。
直桿中的剪應力源自值等於PR的扭矩。螺旋線中的主要應力也是扭轉剪應力。











由扭轉剪應力=Tr/J（J為極慣性矩），得圖4-2中的應力為

(a)

將螺旋直徑2R與線徑d間的比值為彈簧指數(spring index) c。即

(1)

在繞成螺旋線後，由橫向剪力的作用，剖面將有額外應力。經精確分析顯示，此應力在彈簧長的中央部份之值為1.23P/A。則



(b)

由於靜負荷Ｐ的作用，在彈簧長中央部份的線圈內側，其總剪應力τ可由(a)式與(b)是相加求得：

(2)


式中

(3)


將（1）式代入（2）式得另外兩個型式的應力方程式

(4)(5)


當（3）式代入（4）式而解得c，可得下列有用的方程式

(6)

將（1）式的c代入（6）式，得

(6a)


彈簧的撓度可由考慮由扭矩PR導致剖面間的互相旋轉而得。暫時假設圖4-2(b)中的元素ABCD據撓性，彈簧的其他部分為剛體。則φ=Tl/JG式，剖面CD對相鄰剖面AB的旋轉dφ 等於



此一微分長度彈簧得旋轉，導致位於相隔 的E點的總移動量為




當整個彈簧具彈性時，由扭矩產生的總撓度，可以由全長積分而得，則

(7)(8)(9)


在這些方程式中，彈簧的作用長度(active length)取為2πRNc，而鋼線極貫性矩為πd^4/32。方程式（8）及（9）由（1）式代入而得。
彈簧用鋼的G，平均值為11500000 psi ，若以SI單位表示。為79300MPa。
若Q為彈簧的無效端圈數，則彈簧總長為2πr(Nc+Q)。鋼線的剖面積為πd^2/4彈簧材料的體積V為兩項的乘積。

(10)

彈簧率（spring rate）k，或產生單位撓度所須之力的方程式可由將（7），（8），（9）式中的P以k，而δ以1取代而得


(11)


其他彈簧率k公式，可由考慮圖4-2（c）而得

(12)

題目:
由(幾)號剛線製成的螺旋壓縮彈簧，承受(多少lb)靜負荷形成1in撓度。及彈簧所設計承受最大剪應力將為(多少psi)。而無效端圈數Q等於(多少)。可以知道所需平均半徑R，有效圈數 及彈簧材料的體積之值。
分析：
由圖表1.1知











表4-1

由表4-1得線徑d
由(6a)式知R
由（1）式知C
由（9）式知δ
得Nc
由（10）式5 之V

% gear.m
% Design of a gear
ld=[3/8 0.375
5/16 0.3125
1/4 0.25
4 0.2253
5 0.207
6 0.192
7 0.177
8 0.162
9 0.1483
10 0.135
11 0.1205
12 0.1055
13 0.0915
14 0.08
15 0.072
16 0.0625
17 0.054
18 0.0475
19 0.041
20 0.0348
21 0.0317
22 0.0286
23 0.0258
24 0.023
25 0.0204];
while 1
 
      No=input('幾號鋼線製成的螺旋壓縮彈簧(-)[預設值為8]:','s');
          if isempty(No)  
             No='8';
          end
      number=str2num(No);
      [N,I]=find(ld(:,1)==number);
   
   
          if isempty(N)    %找表中較近的值
             if N>25
             while isempty(N)
                 number=number-1;
                 [N,I]=find(ld(:,1)==number);
             end
             disp([' 表中較近的值為 ' num2str(number)]);
             yn= upper(input('是否使用(Y/N) [Y] ','s'));
             if yn ~= 'Y'
                number=0;
                [N,I]=find(ld(:,1)==number);
             end
             end
        
              
          end
       
       
          if isempty(N)
             disp('並無此號數彈簧！');
          else
              break;
          end
end

while 1
      F=input('請輸入承受靜負荷形成1in撓度(lb)[預設值為100]:','s');
         if isempty(F)
           F='100';
         end
         P=str2num(F);


      T=input('最大剪力(psi)[預設值為80000]:','s');
            if isempty(T)
                T='80000';
            end
            t=str2num(T);


      Q=input('請輸入無效半徑[預設值為2]: ','s');
            if isempty(Q)
                Q='2';
            end
            q=str2num(Q);

       d=ld(N,2);
       R=d/2*((3.14*d^2*t/8/P)-0.615);
       c=2*R/d;
       G=11500000;
       nc=1*R*G/4/P/c^4;
       v=1/2*pi^2*d^2*R*(nc+q);

disp('齒輪資料：');
disp(['第' num2str(N) '號彈簧']);
disp(['承受靜負荷形成1in撓度:' num2str(F) 'lb']);
disp(['最大剪力(psi):' num2str(T) 'psi']);
disp(['無效半徑:' num2str(Q)]);
disp(['所需平均半徑R：' num2str(R) 'in']);
disp([' 有效端圈數N：'  num2str(nc)]);
disp(['彈簧材料的體積：'  num2str(v) 'in3.']);

 A=upper(input('繼續執行嗎？(Y/N) [Y] ','s'));
if  A~='Y'
break;
end
end
結果：


請輸入承受靜負荷形成1in撓度(lb)[預設值為100]:300
最大剪力(psi)[預設值為80000]:30000
請輸入無效半徑[預設值為2]: 2
齒輪資料：
第5號彈簧
承受靜負荷形成1in撓度:300lb
最大剪力(psi):30000psi
無效半徑:2
所需平均半徑R：0.11042in
 有效端圈數N：816.92
彈簧材料的體積：19.1199in3.
繼續執行嗎？(Y/N) [Y]